1. Solve this cryptic equation, realizing of course that values for M and E could be interchanged. No leading zeros are allowed.

WWWDOT - GOOGLE = DOTCOM

This can be solved through systematic application of logic.  For example,  cannot be equal to 0, since .  That would make , but , which is not possible.

Here is a slow brute-force method of solution that takes a few minutes on a relatively fast machine:

This gives the two solutions

777589 - 188106 == 589483
777589 - 188103 == 589486

Here is another solution using Mathematica's Reduce command:

A faster (but slightly more obscure) piece of code is the following:

Faster still using the same approach (and requiring ~300 MB of memory):

Even faster using the same approach (that does not exclude leading zeros in the solution, but that can easily be weeded out at the end):

Here is an independent solution method that uses branch-and-prune techniques:

And the winner for overall fastest:

2. Write a haiku describing possible methods for predicting search traffic seasonality.

MathWorld's search engine
seemed slowed this May. Undergrads
prepping for finals.

3.       1
         1 1
         2 1
      1 2 1 1
   1 1 1 2 2 1

What's the next line?  

312211.  This is the "look and say" sequence in which each term after the first describes the previous term: one 1 (11); two 1s (21); one 2 and one 1 (1211); one 1, one 2, and two 1's (111221); and so on.  See the look and say sequence entry on MathWorld for a complete write-up and the algebraic form of a fascinating related quantity known asConway's constant.

4. You are in a maze of twisty little passages, all alike.  There is a dusty laptop here with a weak wireless connection.  There are dull, lifeless gnomes strolling around.  What dost thou do?

    A) Wander aimlessly, bumping into obstacles until you are eaten by a grue.
    B) Use the laptop as a digging device to tunnel to the next level.
    C) Play MPoRPG until the battery dies along with your hopes.
    D) Use the computer to map the nodes of the maze and discover an exit path.
    E) Email your resume to Google, tell the lead gnome you quit and find yourself in whole different world [sic].

In general, make a state diagram.  However, this method would not work in certain pathological cases such as, say, a fractal maze.  For an example of this and commentary, see Ed Pegg's column about state diagrams and mazes.

5. What's broken with Unix?

Their reproductive capabilities.

How would you fix it?

[This exercise is left to the reader.]

6. On your first day at Google, you discover that your cubicle mate wrote the textbook you used as a primary resource in your first year of graduate school. Do you:

    A) Fawn obsequiously and ask if you can have an autograph.
    B) Sit perfectly still and use only soft keystrokes to avoid disturbing her concentration
    C) Leave her daily offerings of granola and English toffee from the food bins.
    D) Quote your favorite formula from the textbook and explain how it's now your mantra.
    E) Show her how example 17b could have been solved with 34 fewer lines of code.

[This exercise is left to the reader.]

7. Which of the following expresses Google's over-arching philosophy?

    A) "I'm feeling lucky"
    B) "Don't be evil"
    C) "Oh, I already fixed that"
    D) "You should never be more than 50 feet from food"
    E) All of the above

[This exercise is left to the reader.]

8. How many different ways can you color an icosahedron with one of three colors on each face?

For an asymmetric 20-sided solid, there are  possible 3-colorings.  For a symmetric 20-sided object, the Pólya enumeration theorem can be used to obtain the number of distinct colorings.  Here is a concise Mathematica implementation:

What colors would you choose?

[This exercise is left to the reader.]

9. This space left intentionally blank.  Please fill it with something that improves upon emptiness.

For nearly 10,000 images of mathematical functions, see The Wolfram Functions Site visualization gallery.

10. On an infinite, two-dimensional, rectangular lattice of 1-ohm resistors, what is the resistance between two nodes that are a knight's move away?

This problem is discussed in J. Cserti's 1999 arXiv preprint.  It is also discussed in The Mathematica GuideBook for Symbolics, the forthcoming fourth volume in Michael Trott's GuideBook series, the first two of which were published just last week by Springer-Verlag.  The contents for all four GuideBooks, including the two not yet published, are available on the DVD distributed with the first two GuideBooks.

11. It's 2PM on a sunny Sunday afternoon in the Bay Area.  You're minutes from the Pacific Ocean, redwood forest hiking trails and world class cultural attractions.  What do you do?

[This exercise is left to the reader.]

12. In your opinion, what is the most beautiful math equation ever derived?

There are obviously many candidates.  The following list gives ten of the authors' favorites:

1. Archimedes' recurrence formula: , , , 
2. Euler formula: 
3. Euler-Mascheroni constant: 
4. Riemann hypothesis:  and  implies 
5. Gaussian integral:   
6. Ramanujan's prime product formula: 
7. Zeta-regularized product: 
8. Mandelbrot set recursion: 
9. BBP formula: 
10. Cauchy integral formula: 

An excellent paper discussing the most beautiful equations in physics is Daniel Z. Freedman's "Some beautiful equations of mathematical physics."  Note that the physics view on beauty in equations is less uniform than the mathematical one.  To quote the not-necessarily-standard view of theoretical physicist P.A.M. Dirac, "It is more important to have beauty in one's equations than to have them fit experiment."

13. Which of the following is NOT an actual interest group formed by Google employees?

    A. Women's basketball
    B. Buffy fans
    C. Cricketeers
    D. Nobel winners
    E. Wine club

[This exercise is left to the reader.]

14. What will be the next great improvement in search technology?

Semantic searching of mathematical formulas.  See http://functions.wolfram.com/About/ourvision.html for work currently underway at Wolfram Research that will be made available in the near future.

15. What is the optimal size of a project team, above which additional members do not contribute productivity equivalent to the percentage increase in the staff size?

    A) 1
    B) 3
    C) 5
    D) 11
    E) 24

[This exercise is left to the reader.]

16. Given a triangle ABC, how would you use only a compass and straight edge to find a point P such that triangles ABP, ACP and BCP have equal perimeters?  (Assume that ABC is constructed so that a solution does exist.)

This is the isoperimetric point, which is at the center of the larger Soddy circle. It is related to Apollonius' problem. The three tangent circles are easy to construct: The circle around  has diameter , which gives the other two circles.  A summary of compass and straightedge constructions for the outer Soddy circle can be found in "Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections" by David Gisch and Jason M. Ribando.

17. Consider a function which, for a given whole number n, returns the number of ones required when writing out all numbers between 0 and n.  For example, f(13)=6.  Notice that f(1)=1.  What is the next largest n such that f(n)=n?

The following Mathematica code computes the difference between [the cumulative number of 1s in the positive integers up to n] and [the value of n itself] as n ranges from 1 to 500,000:

The solution to the problem is then the first position greater than the first at which data equals 0:

which are the first few terms of sequence A014778 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

Checking by hand confirms that the numbers from 1 to 199981 contain a total of 199981 1s:

18.  What is the coolest hack you've ever written?

While there is no "correct" answer, a nice hack for solving the first problem in the SIAM hundred-dollar, hundred-digit challenge can be achieved by converting the limit into the strongly divergent series:

and then using Mathematica's numerical function SequenceLimit to trivially get the correct answer (to six digits),

You must tweak parameters a bit or write your own sequence limit to get all 10 digits.

[Other hacks are left to the reader.]

19. 'Tis known in refined company, that choosing K things out of N can be done in ways as many as choosing N minus K from N: I pick K, you the remaining.

This simply states the binomial coefficient identity .  

Find though a cooler bijection, where you show a knack uncanny, of making your choices contain all K of mine.  Oh, for pedantry: let K be no more than half N.

'Tis more problematic to disentangle semantic meaning precise from the this paragraph of verbiage peculiar.

20. What number comes next in the sequence: 10, 9, 60, 90, 70, 66, ?

    A) 96
    B) 1000000000000000000000000000000000\
         0000000000000000000000000000000000\
         000000000000000000000000000000000
    C) Either of the above
    D) None of the above

This can be looked up and found to be sequence A052196 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, which gives the largest positive integer whose English name has n letters.  For example, the first few terms are ten, nine, sixty, ninety, seventy, sixty-six, ninety-six, ….  A more correct sequence might be ten, nine, sixty, googol, seventy, sixty-six, ninety-six, googolplex.  And also note, incidentally, that the correct spelling of the mathematical term "googol" differs from the name of the company that made up this aptitude test.

The first few can be computed using the NumberName function in Eric Weisstein's MathWorld packages:

A mathematical solution could also be found by fitting a Lagrange interpolating polynomial to the six known terms and extrapolating:

21. In 29 words or fewer, describe what you would strive to accomplish if you worked at Google Labs.

[This exercise is left to the reader.]

 기차에서 깨어난 한 남자. 그의 이름은 콜터고, 중동에서 헬기를 몰던 사람이었다. 그는 그런 자신이 왜 여기에서 깨어났는지 알지 못한다. 앞에 있는 여자는 그를 션이라는 교사로 오해하고 있다. 뭔가 이상하다. 그러다가 거울을 보고는 그가 다른 사람이 되어있음을 알게 된다. 혼란스러운 이 상황. 갑자기 그가 타고 있던 기차가 폭발한다. 그러고 그는 다른 곳에서 다시 깨어난다. 캡슐 같은 곳. 그에게 말을 거는 한 여성 대위. 그녀는 그가 임무를 수행하고 있는 중이라고 말하며 자꾸 생뚱 맞게 느껴지는 질문만을 던진다. 그리고 기차가 폭발하기 8분 전으로 다시 돌아가게 된 그. 도대체 그에게 무슨 일이 벌어지고 있는가?

 <소스 코드>는 시간 여행을 통해 과거를 바꾼다는 이야기의 액션 영화가 아니다. 8분 전으로 반복해서 돌아간다고는 하지만 <소스 코드>는 (정확하게 말해서) 시간 여행을 다루는 영화가 아니다. 그건 주인공이 계속해서 반복하는 8분이라는 시간은 콜터가 있는 현실 세계와, 콜터가 소스 코드라는 시스템 속에 들어있는 (가상) 세계와는 다른 세계(정확하게 말하면 현실 세계의 또 다른 평행 세계)에 존재하고 있는 시간이기 때문이다. 그 8분은 대참사로 죽은 사람의 뇌 속에 보관된 기억이다. 그 죽은 사람의 뇌신경과 뇌만 살아 있는 콜터의 뇌신경과 연결해서 콜터가 그 기억 속으로 반복해서 들어갈 수 있게 해 준다. 그 과정을 통해 그 대참사를 일으킨 범인을 찾아냄으로서 현실 세계의 미래에 일어나게 될 일을 바꿀 수 있다. 그러나 이미 일어난 대참사를 막을 수는 없다. 영화 속에 존재하는 이 3개의 세계는 마치 한 개의 세계처럼 맞물러 돌아가면서 서로 상호작용하고, 여기에 또 다른 세계가 끼어든다. 

 간단하게 정리해보면 사고로 인해 뇌만 살아 있는 현실 세계의 콜터가 다른 사람의 뇌 속에 있는 기억 속으로 들어갈 수 있게 해 주는 소스 코드라는 (가상 현실에 존재하고 있는) 시스템을 통해 다른 사람의 죽기 전 8분의 기억으로 들어가서 현실 세계에서 앞으로 일어나게 될 일을 바꿔야한다는 것이다. 그 기억은 과거의 현실 세계와 같은 일이 벌어지고 있는 다른 평행 세계이고. 평행 세계에서의 변화를 통해 현실 세계가 변하며, 또 다른 평행 세계에도 영향을 미친다. 평행 우주론과 시간 여행과 가상 현실을 짬뽕시킨 이야기. 이게 과학적으로 가능하고 논리적인 이야기인지 묻는다면 그에 대한 대답은 “?”다.

 영화에서 묘한 부분은 소스 코드에 대해서 분명하게 밝혀주질 않는다는 점이다. 물론 아예 언급을 안 하는 것은 아니고 가볍게 설명은 해 주지만 영화의 태도는 극 중의 대사인 “양자역학에 관한 복잡한 내용이라 말해줘도 이해 못 할 거야.” 와 같다. 어쩌면, <소스 코드>에서 가장 중요하지 않은 건 어떻게 보면 소스 코드라는 것 자체에 있을지도 모른다는 생각이 문득 들었다. 영화의 중심에 소스 코드가 있는 건 맞지만 그에 대한 설명은 모호한 부분이 분명하게 존재하니까. 영화는 딱 전개에 필요한 내용만을 간략하게 언급만 하며, 분명하게 설명하지 않고 지나가는 부분이 많다. 비논리적이고 터무니없게 느껴질 수 있는 부분도 전혀 숨기려고 하질 않는다.

 영화는 근사한 스릴러라고 할 수는 있을지언정 SF 액션이라고 보기에는 다소 무리가 있다. 아이디어는 SF적이라고 할 수 있겠다. 그러나 액션 영화와는 거리가 멀다. 액션 장면이라고 할 만한 건 기차가 폭발하는 2~3장면에 불과하다. 주인공이 테러리스트를 추격하는 과정에서 박진감이 크게 느껴지지 않고, 이 과정이 너무나도 쉽게 풀리는 느낌을 준다. 3000만 달러 정도로 만든 저예산 영화기 때문에 SF적인 근사한 볼거리는 없으며, 멋진 액션을 보여주는데 중점을 둔 영화라고 보기 힘들다.

 여기서 이 영화의 감독에 대해 집고 넘어가야(만) 할 필요성이 있다. 이 영화의 감독은 던칸 존스 감독. 그의 첫 작품이었던 <더 문>은 인간에 대해, 인간과 그 복제품의 경계에 대해, 그리고 휴머니즘에 대해 깊게 파고들었다. <소스 코드>는 <더 문>의 연장선상에 있는 영화다. 가상의 자신의 현실의 자신을 대신해서 현실의 자신이 가지고 있었던 소망을 이루어준다는 점에서 두 영화 사이에는 교집합도 존재한다. 다만 진중하기만 했던 <더 문>과는 달리 <소스 코드>는 대중적인 재미를 더 많이 가지고 있고 더 몰입하기가 쉽다.

 전반부에 드러나는 영화의 설정은 지금까지 봐왔던 유명한 SF 영화에서 가져 온 것 같다. 소스 코드라는 가상의 시스템과 현실에 있는 그의 모습의 대립은 <매트릭스>를 약간 떠오르게 하고, 소스 코드를 통해 다른 사람의 기억 속으로 들어간다는 것은 <아바타>를 약간 연상시키게 하고, 그 속에서 자유를 억압하고 인간을 인간으로서가 아닌, 자신들의 뜻을 이루게 해 주는 도구로서 대하다가 그 인간이 자신이 억압당했다는 걸 깨닫고 그 억압과 속박으로부터 벗어나 진정한 자유를 되찾으려고 하는 부분은 <트루먼 쇼>와 거의 흡사하다고 해도 과언이 아니다. <사랑의 블랙홀>과 완전 비슷한 영화라는 이야기를 많이 들었는데 그 영화는 안 봐서 잘 모르겠고.

 전반부는 테러리스트를 잡는 이야기 위주지만, 영화에서 정말 중요한 부분은 테러리스트를 잡기 위해 다른 사람의 8분 동안의 삶과 죽음을 계속해서 경험해야 할 수 밖에 없는 콜터가 자신의 현 상황을 자각한 이후에 벌어지는 내용이다. 자원한 것이 아니라, 전쟁으로 인해 어쩔 수 없이 소스 코드라는 시스템에 참여하게 된 그는 이 속에서 억압된 자유 의지를 풀어해치려는 모습을 보여준다. 자신의 정체성을 찾아가는 과정. 이 과정에서 자신의 존재에 대한 고민, 이 과정에서 주인공이 선택하는 해결책은 보는 이들의 마음을 움직이게 한다. (이에 관해 후반부에 영화의 세계관을 응축한 완벽(하게 뭉클)한 장면이 있다.)

 복잡한 이야기를 많이 꺼내고 있지만 영화에서 크게 남는 건 평범한 순간들이다. 통근 열차를 타고 가는 사람들의 모습들. 그 속에서 누구는 코미디언으로서 사람들을 웃기고, 누구는 거래가 잘 안 되서 초조해하고 있고. 누구는 사랑을 하고 있고. 간단하게 말해, 사람 답게 살고 있는 모습들. 여기서 중요한 것은 선택이다. 우리의 선택과 행동은 절대로 돌이킬 수는 없고, 다른 세계와 앞으로의 일에 영향을 줄 뿐이다. 이 부분은 우리가 잘 하지 했던 후회스러운 과거에 발목 붙잡히지 말고 더 늦기 전에 지금이라도 하면 자신의 현재 상황과 미래가 바꿀 수 있다는 이야기로 느껴졌다. 한 마디로 인생 전체의 의미는 거창한 곳에서 찾을 필요 없이 현재 살아가는 매순간마다 찾을 수 있고 존재한다는 것이다.

 복잡하게 느껴질 수 있는 영화의 종착점은 결국 정체성 찾기와 실존의 회복, 그 과정에서 느껴지는 먹먹한 휴머니즘에 있었다.

 
출처 네이버 영화